Zwei größere Kreise passen nebeneinander gelegt exakt ins Innere eines Rechtecks. Hinzu kommt noch ein kleinerer Kreis, der die beiden größeren berührt – siehe Zeichnung oben. Die Abstände der drei Kreismittelpunkte sind gegeben: 7, 9 und 12.

Ihre Aufgabe ist, die nicht von den Kreisen bedeckte Fläche des Rechtecks zu berechnen. Diese ist in der Zeichnung oben mit einer dunklen Farbe hervorgehoben.

Ist eine Berechnung der Fläche möglich, wenn Sie allein die Abstände der Mittelpunkte zueinander kennen?

Ja, die gesuchte Fläche beträgt rund 88,6.

Zuerst berechnen wir die Radien der drei Kreise. Die Längen 7 und 9 verraten uns, dass der Radius des großen Kreises um 2 größer sein muss als der des mittleren. Weil der Abstand ihrer Mittelpunkte 12 beträgt, ergeben sich als Radien 5 und 7. Der Radius des kleinen Kreises beträgt deshalb 9 – 7 = 7 – 5 = 2.

Mit den Radien der drei Kreise können wir deren Fläche berechnen. Diese brauchen wir dann nur noch von der Fläche des Rechtecks abzuziehen – und wir haben das gesuchte Ergebnis.

Die Länge der senkrechten Rechteckseite kennen wir schon: Sie entspricht dem Durchmesser des großen Kreises und beträgt daher 2*7 = 14.

Bei der längeren Rechteckseite müssen wir etwas rechnen. Sie besteht aus drei Abschnitten:

• dem Radius des großen Kreises 7 (links)

• dem Radius des mittleren Kreises 5 (rechts)

• dem waagerechten Abstand der beiden Kreismittelpunkte a

Der waagerechte Abstand beider Mittelpunkte a lässt sich leicht mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Es gilt:

12² = (7 – 5)² + a²
a² = 144 – 4
a = Wurzel(140)
a = 2 * Wurzel(35)

Für die Fläche des Rechtecks gilt:

A_R = 14 * (12 + 2 * Wurzel(35))
A_R = 333,650..

Davon ziehen wir die Fläche der drei Kreise ab:

A_K = Pi * (7² + 5² + 2²)
A_K = Pi * 78
A_K = 245,044...

Als Restfläche erhalten wir gerundet auf eine Nachkommastelle 88,6.

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