Kreise und Dreiecke sind beliebte Objekte in der Geometrie. Im Idealfall lassen sie sich miteinander kombinieren. So wie bei der neuen Knobelei.

In einem Kreis ist ein rechtwinkliges Dreieck eingezeichnet. Eine Kathete liegt auf dem Durchmesser, die andere führt senkrecht dazu zum Kreisrand – siehe Skizze oben.

Wir kennen die Länge der Hypotenuse (=13) und der senkrechten Kathete (=5).

Welche Länge hat der Radius des Kreises?

Der Radius hat eine Länge von 7 + 1/24 = 7,04…

Mit dem Satz des Pythagoras können wir leicht die Länge der zweiten Kathete b berechnen. Sie beträgt

b = Wurzel(13² – 5²)
b = 12

Nun zeichnen wir ein zweites rechtwinkliges Dreieck ein – in der Zeichnung unten blau hervorgehoben. Blaues und rotes Dreieck bilden zusammen ein größeres rechtwinkliges Dreieck – siehe Satz des Thales (»Alle Winkel am Halbkreisbogen sind rechte Winkel«).

Das blaue Dreieck ist ähnlich zum roten Dreieck, weil die Innenwinkel beider Dreiecke gleich groß sind.

Warum ist das so? Beide sind rechtwinklig. Die Summe der beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 90 Grad.

Der kleinere spitze Winkel des blauen Dreiecks oben hat die Größe 90 Grad minus größerer spitzer Winkel des roten Dreiecks, was exakt dem kleineren spitzen Winkel des roten Dreiecks entspricht.

Wenn bei zwei Dreiecken zwei Winkel gleich groß sind, dann gilt das auch für den dritten Winkel, und die Dreiecke sind einander ähnlich.

Da beide Dreiecke ähnlich sind, ist das Verhältnis der kurzen zur langen Kathete in beiden Dreiecken gleich. Also gilt:

a/5 = 5/b
a = 25/b

Wegen b = 12 erhalten wir:

a = 25/12

Der Radius r entspricht (a + b)/2. Also gilt:

r = (25/12 + 12)/2
r = 6 + 25/24
r = 7 + 1/24
r = 7,04…

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